Математическое описание биологических процессов
Лекция №1.
Основы теории графов. Графы как метод описания взаимодействий в реальном мире. Понятие графа. Вершины и ребра. Типы графов. Простейшие свойства графов: максимальное количество ребер в полном графе. Лемма о рукопожатиях. Графы и подграфы, понятие остовного подграфа. Маршрут. Задача о построении кратчайшего маршрута. Алгоритм Дейкстры.
Лекция №2.
Цикломатика графов. Эйлеровы циклы и цепи. Задача о кенигсбергских мостах. Теоремы о существовании эйлеровых циклов и цепей. Принципы построения эйлеровых цепей и циклов. Цикломатическое число графа. Деревья: различные определения и их тождественность. Остовное дерево.
Лекция №3.
Комплексные сети. Случайные графы, алгоритм Эрдёша-Рени. Распределение степеней вершин в «реальных сетях». Понятие «комплексной сети». Примеры комплексных сетей. Безмасштабные сети и их свойства: «малый мир», транзитивность, наличие кластеров. Алгоритмы порождения безмасштабных сетей: Барабаши-Альберта, дивергенции и дупликации. Геномные и протеомные сети. Устойчивость комплексных сетей. Применение теории комплексных сетей в моделях распространения эпидемий.
Лекция №4.
Экологические сети. Пищевые сети. Двудольные графы мутуалистических взаимодействий, их свойства: вложенность, распределение степеней вершин и их биологическое объяснение. Нагруженные ребра: степень и сила вершин, асимметрия взаимодействий. Кластеризация экологических сетей. Филогенетические сигналы в экологических сетях.
Лекция №5.
Основы математического моделирования. Цели математического моделирования. Типы математических моделей. Применение дифференциальных уравнений в математическом моделировании. Переменные и параметры, их связь. Качественная теория дифференциальных уравнений: определения дифференциального уравнения и его решения, начальные условия и задача Коши. Фазовое пространство и фазовые траектории. Стационарные состояния и их устойчивость. Фазовые портреты одномерных систем. Модели популяционной динамики как пример уточнения математического описания процесса. Модели с непрерывным и дискретным временем. Динамика частот аллелей под действием естественного отбора. Важность обратных связей для стабильности системы.
Лекция №6.
Двумерные модели. Типы стационарных точек в двумерных моделях: узел, седло, фокус, центр. Грубые и негрубые стационарные состояния. Аттрактор как расширение понятия стационарного состояния. Предельные циклы и автоколебания. Понятие бифуркаций. Теория особенностей Уитни: сборки и складки, их динамическая интерпретация. Мультистационарность. Модель адаптивного ландшафта. Силовое и параметрическое переключение. Модель выбора одного из равноправных (теорема Гаузе, генетический код, пониженная приспособленность гетерозигот). Бифуркации Андронова-Хопфа, мягкое и жесткое возбуждение автоколебаний. Эффект гистерезиса.
Лекция №7.
Динамический хаос. Детерминизм Лапласа и причины его нарушения по классическим представлениям. Определение хаотического поведения систем. Необходимые, но не достаточные условия возникновения хаотического поведения. Хаотическое поведение в дискретных моделях: каскад бифуркаций, постоянная Фейгенбаума. Хаотическое поведение в непрерывных моделях: понятие «странного аттрактора». Аттрактор Лоренца и прогноз погоды. Фрактальность странных аттракторов.
Лекция №8.
Примеры математических моделей в биологии. Подробный разбор и обсуждение эволюционных математических моделей из статей последних лет.
Лекция №9.
Фрактальная геометрия. Возникновение фрактальной геометрии. Понятие фрактальной размерности. Примеры простейших фракталов. Множества Жолиа и Мандельброта. Применение фракталов для описания биологических процессов..
Лекция №10.
Математические методы в таксономии. Иерархические и периодические системы. Фенетика. Оценка значимости признаков в нумерической таксономии. Моделирование процесса дивергенции: модель эвлюционных замен Джукса-Кантора..
Лекция №11.
Способы учета численности. Типы распределния организмов: равномерное, случайное, агрегированное. Коэффициенты агрегированности. Маршрутные учеты. Метод исчерпывания. Метод маркировки и последующего отлова. Определение плотности с помощью проб. Моделирование работы ловушек (на примере рабоы Ф. Лобырева по рыбным сетям).
Лекция №12.
Методы оценки сообществ. Понятие биоразнообразия: видовое богатство выровненность. Простейшие индексы разнообразия (Маргалефа, Менхинника). Кривые доминирования-разнообразия. Индексы доминирования (Балога, Палия-Ковнацки). Энтропийная оценка разнообразия, индекс Шеннона. Оценка значимости видов. Меры сходства сообществ. Меры ассоциации (индексы Жаккара и Сьёренсена). Меры связи (коэф-ты Чекановского и общности удельного обилия). Меры расстояния. Эквивалентность мер.
Составитель - к.б.н. С.Н. Лысенков